Quay lại giao diện cũ
Bài tập sách giáo khoa: Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức √A² = |A|
Bài 6 (trang 10 SGK Toán 9 Tập 1)
Với giá trị nào của $a$ thì mỗi căn thức sau có nghĩa:
a)$\sqrt{\dfrac{a}{3}}$; b)$\sqrt{-5a}$; c)$\sqrt{4-a}$; d)$\sqrt{3a+7}$ ?
Hướng dẫn giải
Nhắc lại: $\sqrt{A}$ có nghĩa khi $A\ge 0$.
a) $\sqrt{\dfrac{a}{3}}$ có nghĩa khi:
$\dfrac{a}{3}\ge 0$ $\Rightarrow$ $a \ge 0$.
b) $\sqrt{-5a}$ có nghĩa khi:
$-5a \ge 0$ $\Rightarrow$ $a \le 0$.
c) $\sqrt{4 – a}$ có nghĩa khi:
$4-a \ge 0$ $\Rightarrow$ $a \le 4$.
d) $\sqrt{3a+7}$ có nghĩa khi:
$3a + 7 \ge 0$ $\Rightarrow$ $a \ge \dfrac{-7}{3}$.
Bài 7 (trang 10 SGK Toán 9 Tập 1)
Tính:
a) $\sqrt{(0,1)^2}$ ; b) $\sqrt{(-0,3)^2}$ ; c) $-\sqrt{(-1,3)^2}$ ; d) $-0,4\sqrt{(-0,4)^2}$.
Hướng dẫn giải
a) $\sqrt{(0,1)^2}=|0,1|=0,1$.
b) $\sqrt{(-0,3)^2}=|-0,3|=0,3$.
c) $-\sqrt{(-1,3)^2}=-|-1,3|=-1,3$.
d) $-0,4\sqrt{(-0,4)^2}=-0,4|-0,4|=-0,4.0,4=-0,14$.
Bài 8 (trang 10 SGK Toán 9 Tập 1)
Rút gọn các biểu thức sau:
a) $\sqrt{(2-\sqrt{3})^2}$ ; b) $\sqrt{(3-\sqrt{11})^2}$;
c) $2\sqrt{a^2}$ với $a \ge 0$ ; d) $3\sqrt{(a-2)^2}$ với $a<2$.
Hướng dẫn giải
a) $\sqrt{(2-\sqrt{3})^2}=|2-\sqrt{3}|=2-\sqrt{3}$
(vì $2 - \sqrt{3} > 0$ do $2 = \sqrt{4}$ mà $\sqrt{4} > \sqrt{3}$ nên $2 >\sqrt{3}$).
b) $\sqrt{(3-\sqrt{11})^2}=|3-\sqrt{11}|=\sqrt{11}-3$
(vì $\sqrt{11} - 3 > 0$ do $3 = \sqrt{9}$ mà $\sqrt{11} > \sqrt{9}$ nên $\sqrt{11}>3$).
c) $2\sqrt{a^2} = 2|a| = 2a$ (do $a \ge 0$ nên $|a|=a$).
d) $\sqrt{(a-2)^2}=3|a-2|=3(2-a)$
(vì $a < 2$ $\Rightarrow$ $2-a>0$, do đó $|a-2|=2-a$).
Bài 9 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 1)
Tìm x biết:
a) $\sqrt{x^2}=7$ ; b) $\sqrt{x^2}=|-8|$ ;
c) $\sqrt{4x^2}=6$ ; d) $\sqrt{9x^2}=|-12|$.
Hướng dẫn giải
a) $\sqrt{x^2} = 7$ $\Rightarrow$ $|x| = 7$
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=7\\x=-7\end{matrix}\right.\).
b) $\sqrt{x^2} = |-8|$ $\Rightarrow$ $|x|=8$
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=8\\x=-8\end{matrix}\right.\).
c) $\sqrt{4x^2}=6$ $\Rightarrow$ $\sqrt{(2x)^2}=6$ $\Rightarrow$ $|2x|=6$
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}2x=6\\2x=-6\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\\x=-3\end{matrix}\right.\).
d) $\sqrt{9x^2}=|-12|$ $\Rightarrow$ $\sqrt{(3x)^2}=12$ $\Rightarrow$ $|3x|=12$
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}3x=12\\3x=-12\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=4\\x=-4\end{matrix}\right.\).
Bài 10 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 1)
Chứng minh:
a) $(\sqrt{3}-1)^2=4-2\sqrt{3}$ ; b) $\sqrt{4-2\sqrt{3}}-\sqrt{3}=-1$.
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
$VT = (\sqrt{3}-1)^2 = (\sqrt{3})^2- 2\sqrt{3} + 1$
$= 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4 - 2\sqrt{3} = VP$
Vậy $(\sqrt{3} - 1)^2 = 4 - 2\sqrt{3}$ (đpcm)
b) Theo câu a) ta có:
$VT=\sqrt{4-2\sqrt{3}}-\sqrt{3}=\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}-\sqrt{3}$
$= |\sqrt{3} - 1| - \sqrt{3} = \sqrt{3} - 1 - \sqrt{3}$
$= -1 = VP$ (vì $\sqrt{3} - 1 > 0$) (đpcm)
Bài 11 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 1)
Tính:
a) $\sqrt{16}.\sqrt{25}+\sqrt{196}:\sqrt{49}$ ; b) $36:\sqrt{2.3^2.18}-\sqrt{169}$
c) $\sqrt{\sqrt{81}}$ ; d) $\sqrt{3^2+4^2}$.
Hướng dẫn giải
a) $\sqrt{16}.\sqrt{25}+\sqrt{196}:\sqrt{49}$
$=\sqrt{4^2}.\sqrt{5^2}+\sqrt{14^2}:\sqrt{7^2}$
$= 4.5 + 14:7 = 20 + 2 = 22$.
b) $\sqrt{36}:\sqrt{2.3^2.18}-\sqrt{169}$
$=36:\sqrt{3^2.36}-\sqrt{13^2}$
$= 36:\sqrt{3^2.6^2}-13=36:\sqrt{18^2}-13$
$=36:18-13=2-13=-11$.
c) $\sqrt{\sqrt{81}}=\sqrt{\sqrt{9^2}}=\sqrt{9}=\sqrt{3^2}=3$.
d) $\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=\sqrt{5^2}=5$.
Bài 12 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 1)
Tìm x để mỗi căn thức sau có nghĩa:
a) $\sqrt{2x+7}$ ; b) $\sqrt{-3x+4}$ ; c) $\sqrt{\dfrac{1}{-1+x}}$ ; d) $\sqrt{1+x^2}$.
Hướng dẫn giải
a) $\sqrt{2x + 7}$ có nghĩa khi:
$2x+7 \ge 0$ $\Rightarrow$ $x \ge \dfrac{-7}{2}$.
b) $\sqrt{-3x+4}$ có nghĩa khi:
$-3x + 4 \ge 0$ $\Rightarrow$ $x \le \dfrac{4}{3}$.
c) $\sqrt{\dfrac{1}{-1+x}}$ có nghĩa khi:
$\dfrac{1}{-1+x} \ge 0$ $\Rightarrow$ $-1+x>0$ $\Rightarrow$ $x>1$.
d) $\sqrt{1+x^2}$ có nghĩa khi: $1+x^2 \ge 0$
Mà $x^2\ge 0$ $\Rightarrow$ $x^2+1\ge 1 >0$ với mọi $x$.
Vậy $\sqrt{1+x^2}$ có nghĩa với mọi $x$.
Bài 13 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 1)
Rút gọn các biểu thức sau:
a) $2\sqrt{a^2}-5a$ với $a<0$ ; b) $\sqrt{25a^2}+3a$ với $a \le 0$;
c) $\sqrt{9a^4}+3a^2$ ; d) $5\sqrt{4a^6}-3a^3$ với $a<0$.
Hướng dẫn giải
a) $2\sqrt{a^2} - 5a$
$= 2|a|-5a$
$= -2a - 5a = -7a$ (do $a < 0$ nên $|a| = -a$).
b) $\sqrt{25a^2} + 3a$
$= 5|a| + 3a$
$= 5a + 3a = 8a$ (do $a \ge 0$ nên $|a| = a$).
c) $\sqrt{9a^4} + 3a^2$
$= \sqrt{(3a^2)^2} + 3a^2$
$= |3a^2| + 3a^2$
$= 3a^2 + 3a^2 = 6a^2$ (do $a^2 \ge 0$ với mọi a nên $|3a^2| = 3a^2$).
d) $5\sqrt{4a^6} - 3a^3$
$= 5\sqrt{(2a^3)^2} - 3a^3$
$= 5|2a^3| - 3a^3$
$=5.(-2a^3)-3a^3=-10a^3-3a^3=-13a^3$ (do $a < 0$ $\Rightarrow$ $2a^3<0$ nên $|2a^3| = – 2a^3$).
Bài 14 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 1)
Phân tích thành nhân tử:
a) $x^2-3$ ; b) $x^2-6$ ;
c) $x^2+2\sqrt{3}x+3$ ; d) $x^2-2\sqrt{5}x+5$.
Hướng dẫn: Dùng kết quả:
Với $a \ge 0$ thì $a = (\sqrt{a})^2$.
Hướng dẫn giải
a) $x^2 - 3 = x^2 - (\sqrt{3})^2= (x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})$.
b) $x^2 - 6 = x^2 - (\sqrt{6})^2 = (x - \sqrt{6})(x + \sqrt{6})$.
c) $x^2 + 2\sqrt{3}x + 3$
$= x^2 + 2x\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2$
$= (x + \sqrt{3})^2$.
d) $x^2 - 2\sqrt{5}x + 5$
$=x^2 - 2x\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2$
$= (x - \sqrt{5})^2$.
Bài 15 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 1)
Giải các phương trình sau:
a) $x^2-5=0$ ; b) $x^2-2\sqrt{11}x+11=0$.
Hướng dẫn giải
a) $x^2-5=0$ $\Rightarrow$ $x^2=5$ \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\sqrt{5}\\x=-\sqrt{5}\end{matrix}\right.\)
Vậy phương trình có nghiệm $x=\sqrt{5}$ hoặc $x=-\sqrt{5}$.
b) $x^2-2\sqrt{11}x + 11 = 0$
$\Rightarrow$ $x^2-2x\sqrt{11}+(\sqrt{11})^2 = 0$
$\Rightarrow$ $(x-\sqrt{11})^2 = 0$
$\Rightarrow$ $x - \sqrt{11} = 0$
$\Rightarrow$ $x=\sqrt{11}$
Vậy phương trình có nghiệm $x=\sqrt{11}$.
Bài 16 (trang 12 SGK Toán 9 Tập 1)
Đố. Hãy tìm chỗ sai trong phép chứng minh "Con muỗi nặng bằng con voi" dưới đây.
Giả sử con muỗi nặng $m(gam)$, còn con voi nặng $V (gam)$. Ta có:
$m^2 + V^2 = V^2 + m^2$
Cộng cả hai vế với $-2mV$, ta có:
$m^2 – 2mV + V^2 = V^2 – 2mV + m^2$
hay $(m - V)^2 = (V - m)^2$.
Lấy căn bậc hai mỗi vế của đẳng thức trên, ta được:
$\sqrt{(m - V)^2} = \sqrt{(V - m)^2}$
Do đó $m-V = V-m$
Từ đó ta có $2m = 2V$, suy ra $m = V$. Vậy con muỗi nặng bằng con voi (!).
Hướng dẫn giải
Sai lầm ở chỗ:
Sau khi lấy căn hai vế của $(m-V)^2 = (V-m)^2$ ta phải được kết quả $|m-V| = |V-m|$ chứ không thể có $m-V = V-m$ (theo hằng đẳng thức $\sqrt{A^2} = |A|$).
Do đó, con muỗi không thể nặng bằng con voi.